Странности нашей жизни: необычные события, привычки и поступки, странные люди и животные, необъяснимые мистические события и природные явления

Порядок прохождения бесконечных периодических десятичных дробей для учащихся



Порядок прохождения бесконечных периодических десятичных дробей для учащихся

Попробуем разделить 2 на 3, что у нас получится? Именно то — бесконечная дробь, да еще и периодическая, поскольку цифра после запятой повторяется множество раз… В. Ермольев из Ульяновска писал:

Введение периодических бесконечных десятичных дробен в курс V класса должно преследовать цель подготовить учащихся к надлежащему восприятию понятия об иррациональном числе, как это указывалось в объяснительной записке…

В VIII классе доказывается, что иррациональное число не может быть выражено ни целым, ни дробным числом, что это совершенно новый вид числа. При фактическом извлечении корня из чисел иррациональное число выражается бесконечной десятичной дробью, которая берется при вычислении с тем или иным десятичным приближением.

дроби

И вот, если учащиеся не освоили как следует, что в арифметике при делении и при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются либо конечные дроби, либо бесконечные, но при этом обязательно периодические, то у учащихся в VIII классе получается внутренняя неясность: доказывают, что иррациональное число не может быть выражено дробью, а при извлечении корня получают бесконечную дробь, подобно тому, как в арифметике при делении получали бесконечную дробь, — сущность различия учащиеся не улавливают, а учителя внимания учащихся на этом различии не заостряют. И в результате четкости в понятии иррационального числа учащиеся не получают, а это отзывается и на последующих встречах с бесконечными десятичными дробями (число пи, логарифмы, значения тригонометрических функций и т. д.).

Как же добиться этой четкости? У Ермольева есть свой ответ:

В целях уточнения я предлагаю следующий порядок прохождения бесконечных периодических десятичных дробей.

В V классе при делении десятичных дробей надо обратить внимание учащихся на случай бесконечного деления и, стало быть, получения бесконечной десятичной дроби. Основанием к выводу будет получение при делении повторяющихся остатков (равноостаточность). Чтобы не создавать сразу трудностей, здесь о периодичности дроби можно не упоминать, если сами учащиеся не отметят этого.

При обращении обыкновенных дробей в десятичные способом дополнительных до разрядной единицы множителей надо оттенить невозможность подбора таких множителей при определенном составе знаменателя дроби, а при обращении обыкновенных дробей в десятичные путем деления установить, что получаются дроби конечные и бесконечные, выявить, что получающиеся при этом бесконечные дроби являются обязательно периодическими, и этот вывод особенно подчеркнуть, разобрав ряд примеров с получением многозначных периодов, отметив получение чистых и смешанных бесконечных периодических дробей.

Разбирая обращение бесконечных периодических дробей в обыкновенные, указать, что можно бесконечные перевести в обыкновенные, а можно взять приближенные значения, познакомить детей с обращением чистых и смешанных бесконечных дробей в обыкновенные и поупражнять их и в таком обращении и в пользовании приближенными значениями. Здесь снова надо подчеркнуть, что бесконечные периодические десятичные дроби получаются от обращения обыкновенных дробей. На самом обращении периодических дробей в обыкновенные большой упор не делать, во все время работы оттенять получение при делении и при обращении обыкновенных в десятичные либо конечных десятичных дробей, либо бесконечных десятичных, но обязательно периодических. Самому учителю надо говорить и требовать от учащихся полных терминов: конечная десятичная дробь, бесконечная десятичная периодическая дробь.

При таком способе разбора преподаватель математики в VIII классе будет иметь прочную опору: учащиеся без особого труда поймут, что при извлечении иррационального корня не может получиться периодическая десятичная дробь, — иначе она могла бы дать по правилам арифметики обыкновенную дробь, равную ей, а по теореме иррациональное число не может выразиться ни целым, ни дробным числом. Учащиеся осознают тогда, что иррациональное число отличается от прежде известных им чисел, что оно не может быть выражено ни одним из прежде известных им чисел — ни целым, ни дробным, а только новым способом — бесконечной непериодической десятичной дробью.

И в дальнейшем, когда они будут встречаться с такой дробью при выражении отношения длины окружности к диаметру, при логарифмах и т. п., они будут понимать, что в каждом таком случае это будет число, для которого нет образа в арифметических числах.

(Цит. по: В. Ермольев. «Что должно быть в основе прохождения периодических дробей?» // «Математика в школе» № 5, 1940.)

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники

Похожие статьи




Оставить комментарий или два


Инфо

Запись опубликовал 23 Октябрь 2014 года и разместил в рубрике Фриланс 2.     К статье пока нет комментариев. Вы можете быть первым.

Случайные записи

Люди, не дразните слонов! Индийский учебник обвиняет мясоедов Что нам продают с машиной в нагрузку? Лебединые перья вместо холста

Похожие записи

Архивы

Читайте также